[다산동 수학학원] 배점 높은 중2 기말 문항 3개 해설 — D중 12점·S중 6점·H중 5점, 정답보다 출제 의도가 먼저입니다

안녕하세요. 다산수학원리탐구학원입니다. 지난번에는 2025년 D중·S중·H중 2학년 2학기 기말고사 수학 시험지를 문항 하나하나까지 분석해, 도형 영역이 학교별로 57점에서 70점까지 차지한다는 사실을 확인했습니다. 세 학교 평균으로 따지면 무려 65.3%에 이릅니다. 이번 글에서는 각 학교에서 배점이 가장 컸던 문항을 하나씩 뽑았습니다. D중 논술형 3번(12점), S중 선택형 11번(6점), H중 선택형 11번(5점), 이렇게 세 문제입니다. 20년 가까이 수학을 가르치면서 제가 갖게 된 생각이 하나 있습니다. 이른바 킬러 문항은 계산이 복잡해서 어려운 문제가 아닙니다. 겉보기에는 평소 풀던 유형과 비슷해 보여도, 출제자가 이 문제로 무엇을 재려는지 읽지 못하면 시작부터 길을 잃게 만든 문제입니다. 그래서 오늘 해설은 정답을 빨리 구하는 데 목적을 두지 않습니다. 출제자의 의도를 해독하는 과정을 따라가겠습니다. ## 1. 세 학교가 약속이라도 한 듯 가장 무겁게 낸 문항들 흥미로운 공통점이 있습니다. 세 학교 모두 도형에 배점을 집중했고, 그 꼭대기에 선 문항은 어김없이 개념 두 가지 이상이 얽힌 결합형이었습니다. D중은 합동에 피타고라스 정리와 넓이를 이은 3단 합성, S중은 중점·무게중심·외심을 한 문제에 묶었고, H중은 평행선의 비례 관계를 두 단계로 이었습니다. 개념을 각각 따로 외운 것만으로는 닿지 않고, 개념끼리 만나는 접점을 포착해야 열리는 문제들입니다. 뒤집어 말하면, 출제 의도를 읽는 연습이 된 학생에게는 이 문항들이 오히려 점수를 얹어 주는 문항으로 바뀝니다. ## 2. D중 논술형 3번(12점) — 직각은 문제에 그려져 있지 않습니다

(설명: D중 논술형 3번의 문제와 도형, 출제 의도와 풀이 순서를 담은 해설 카드)

문제 조건은 이렇습니다. △ABE ≡ △ECD이고 세 점 B, E, C는 한 직선 위에 있으며 ∠B = ∠C = 90°, BE = 3cm, △AED의 넓이가 17cm²입니다. AE = 𝑎 cm, AB = 𝑏 cm로 놓고 𝑎²의 값(4점), 𝑏의 값(5점), 사다리꼴 ABCD의 넓이(3점)를 순서대로 구하는 문항입니다.

의도를 먼저 짚어 보겠습니다. 여기서 합동은 그 자체가 목적이 아니라, 길이를 다른 자리로 옮겨 놓기 위한 수단입니다. 실제 관문은 도형 어디에도 표시돼 있지 않은 ∠AED = 90°라는 숨은 직각입니다. 3-1에서 𝑎가 아니라 𝑎²을 묻는 것 역시 우연이 아닙니다. √34 같은 무리수를 계산시키려는 게 아니라, 𝑎² = 34라는 결과를 그대로 다음 단계로 넘기라는 신호입니다. 소문항이 배열된 순서가 곧 풀이의 순서이기도 합니다. 출제자가 남긴 가장 큰 힌트가 바로 그것입니다.

풀이는 그 숨은 직각을 밝히는 일에서 출발합니다. 합동인 두 삼각형의 대응각이므로 ∠BAE = ∠CED이고, 직각삼각형 ABE에서는 ∠AEB + ∠BAE = 90°이니 ∠AEB + ∠CED = 90°가 됩니다. B, E, C가 한 직선 위에 있으니 E를 둘러싼 각의 합은 180°, 따라서 ∠AED = 180° − 90° = 90°입니다. 이 문항 전체를 여는 열쇠가 이 한 줄입니다.

∠AED가 직각으로 확정되면 △AED는 AE = ED = 𝑎인 직각이등변삼각형이 되므로, 넓이를 𝑎 × 𝑎 ÷ 2 = 17로 놓으면 𝑎² = 34가 곧바로 나옵니다(3-1). 이어서 △ABE에 피타고라스 정리를 쓰면 𝑏² = 𝑎² − 3² = 34 − 9 = 25, 즉 𝑏 = 5입니다(3-2). 끝으로 합동에서 EC = AB = 5이므로 BC = BE + EC = 3 + 5 = 8이고, 사다리꼴의 넓이는 (5 + 3) × 8 ÷ 2 = 32cm²가 됩니다(3-3).

학생들이 자주 걸리는 대목은 두 군데입니다. 하나는 ∠AED가 직각인지 따져 보지도 않고 넓이 식부터 세우는 경우, 또 하나는 3-1에서 굳이 √34를 구하려고 붙드는 경우입니다. 출제자는 이 한 문제로, 𝑎²을 통째로 넘길 줄 아는 학생과 무리수 계산에 묶이는 학생을 나누어 놓은 셈입니다.

## 3. S중 선택형 11번(6점) — 무게중심이라는 말은 끝까지 나오지 않습니다

(설명: S중 선택형 11번의 문제와 도형, 출제 의도와 풀이 순서를 담은 해설 카드)

AB = AC = 10cm, BC = 12cm인 △ABC에서 변 AB, AC의 중점을 각각 M, N이라 하고 두 선분 BN, CM의 교점을 D라 할 때, △ABC의 외심 O에 대해 □MOND의 넓이를 구하는 문항입니다. 정답은 ④ 11/4 cm²입니다.

출제 의도는 분명합니다. 문제의 어느 줄에도 '무게중심'이라는 단어는 없습니다. 그런데 BN과 CM은 중선이므로, 그 교점 D는 다름 아닌 무게중심입니다. 문제지는 끝까지 그 이름을 가르쳐 주지 않습니다. 이름표를 외운 학생이 아니라, 정의로부터 정체를 번역해 낼 수 있는 학생을 가려내겠다는 뜻입니다. 외심 O도 같은 방식으로 읽어야 합니다. 그림에 원이 함께 그려져 있어도, 풀이 단계에서 O는 '원의 중심'이 아니라 '대칭축 위에 있으면서 OA = OB를 만족하는 점'으로 읽어야 길이 방정식이 만들어집니다.

풀이의 기준선은 꼭짓점 A에서 BC로 내린 수선 AH입니다. 이등변삼각형이므로 H는 BC의 중점이고, BH = 6, AH = √(10² − 6²) = 8이 됩니다. 무게중심 D는 중선 AH를 2 : 1로 내분하므로 D의 높이는 BC로부터 8/3입니다. 외심 O 역시 AH 위에 있고, OH = 𝑡로 놓으면 OB² = 6² + 𝑡², OA = 8 − 𝑡가 되어 두 길이가 같다는 조건에서 𝑡 = 7/4를 얻습니다.

마지막 통찰은 낯선 사각형 □MOND를 한 번에 구하려 하지 않는 데 있습니다. 중점연결정리에 따라 MN = 6이고, MN은 높이 4인 위치에 BC와 평행하게 놓입니다. O와 D는 모두 MN 아래쪽 같은 수직선 위에 있으므로 □MOND는 △OMN에서 △DMN을 뺀 것과 같습니다. MN에서 O까지의 거리 9/4, D까지의 거리 4/3을 이용하면 □MOND = (6 × 9/4 ÷ 2) − (6 × 4/3 ÷ 2) = 27/4 − 4 = 11/4 cm²가 됩니다.

이 문항에서 발목 잡히는 학생은 대개 두 부류입니다. D가 무게중심이라는 사실을 떠올리지 못해 2 : 1의 비를 쓸 기회를 놓치는 경우, 그리고 □MOND의 넓이를 구하는 공식을 한 번에 찾으려는 경우입니다. 모르는 도형은 아는 도형으로 쪼개는 것, 이 문항이 요구하는 실력이 바로 그것입니다.

## 4. H중 선택형 11번(5점) — 답은 길이가 아니라 비를 따라가면 나옵니다

(설명: H중 선택형 11번의 문제와 도형, 출제 의도와 풀이 순서를 담은 해설 카드)

△ABC에서 BC ∥ DE, CD ∥ EF이고 BC : DE = 9 : 5, AD = 45cm일 때, FD = 𝑥 cm, DB = 𝑦 cm로 두고 𝑥 + 𝑦를 구하는 문항입니다. 정답은 ④ 56입니다.

평행선이 두 쌍씩 얽혀 있어 얼핏 복잡해 보이지만, 이 문제에서 실제로 일하는 정보는 BC : DE = 9 : 5라는 비 하나뿐입니다. 첫 번째 평행(DE ∥ BC)이 그 비를 변 사이의 비로 바꾸고, 두 번째 평행(EF ∥ CD)이 바꾼 비를 그대로 이어받습니다. 출제 의도는 여기서 드러납니다. 닮음 단원의 핵심은 길이를 계산하는 기술이 아니라, 비가 보존되고 전파되는 성질임을 아는지 묻고 있는 것입니다. 45cm라는 수치도 계산을 시키려고 준 것이 아니라, 비를 실제 크기로 고정해 두는 닻의 역할을 합니다.

풀이는 비를 쫓아가면 그것으로 끝납니다. DE ∥ BC이므로 AD : AB = DE : BC = 5 : 9, 따라서 AB = 45 × 9/5 = 81이고 𝑦 = 81 − 45 = 36입니다. 같은 평행에서 AE : EC = AD : DB = 45 : 36 = 5 : 4가 되며, EF ∥ CD이므로 AF : FD = AE : EC = 5 : 4가 한 번 더 이어집니다. (45 − 𝑥) : 𝑥 = 5 : 4에서 𝑥 = 20, 따라서 𝑥 + 𝑦 = 20 + 36 = 56입니다.

학생들이 길을 잃는 순간은 𝑥와 𝑦를 따로 구하려고 방정식을 각각 세울 때입니다. 이 문항은 길이를 묻는 문제가 아니라, 비 하나가 두 번 전파되어 가는 흐름을 한눈에 읽는 문제입니다. 비의 흐름을 따라가면 세 줄이면 충분하고, 길이를 쫓아가면 연립방정식의 늪에 빠집니다.

## 5. 세 문항이 결국 확인하는 것은 하나입니다

학교도 다르고 단원도, 배점도 서로 다릅니다. 그런데 세 문항이 공통으로 확인하는 것은 단 하나입니다. 개념의 '이름'을 아는가가 아니라, 그 개념을 '정의와 성질'로 바꾸어 쓸 수 있는가입니다. D중은 합동에서 대응각을 읽어 내 숨은 직각을 찾게 했고, S중은 이름표 없는 무게중심을 정의로 번역하게 했으며, H중은 길이가 아닌 비의 흐름을 읽게 했습니다.

그러니 기말고사 도형 대비의 방향은 공식을 더 외우는 쪽이 아니라, 문제 하나를 앞에 두고 "출제자는 왜 이 조건을 줬을까"를 묻는 쪽이어야 합니다. 조건에는 하나하나 맡은 역할이 있습니다. 그 역할을 읽어 내는 습관이 자리 잡으면, 처음 만나는 결합 문항 앞에서도 첫 줄을 쓸 수 있게 됩니다. 다산수학원리탐구학원에서는 도형 문제를 다룰 때 풀이를 외우게 하지 않습니다. 조건의 역할부터 학생의 말로 설명하게 하면서 그 힘을 기릅니다.

Q. 해설을 읽고 나면 알 것 같은데, 시험장에서 처음 보는 문제는 여전히 손이 멈춥니다. 무엇이 모자란 걸까요?

A. 해설을 '읽는' 공부와 문제를 '푸는' 공부 사이에는, 출제 의도를 스스로 찾아내는 단계가 빠져 있는 경우가 많습니다. 해설을 펼치기 전에 조건마다 그 용도를 한 줄씩 적어 보는 습관을 권합니다. 가령 "이 합동은 길이를 옮기라고 준 조건"처럼 역할을 먼저 정하고 시작하면, 처음 보는 문항에서도 접근 방향이 서기 시작합니다.

지난 전수 분석 글에서 예고했던 대로, 도형의 승패는 보조선을 긋는 손재주가 아니라 조건을 해석하는 눈에서 갈립니다. 우리 아이가 이번 기말에서 어떤 조건에 걸려 멈추는지 궁금하시다면, 시험지와 오답을 가지고 상담을 받아 보시기 바랍니다. 멈춘 지점을 정확히 짚어 드리겠습니다.

원리에 강한, 시험에 더욱 강한 다산수학원리탐구학원이었습니다. 상담 031-565-1239

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